🔺 Geometria — Classe 2ª Superiore

Trapezio Isoscele
Circoscritto a una Circonferenza

Guida interattiva — passo dopo passo

Problema 374.
Un trapezio isoscele è circoscritto a una circonferenza. Il suo lato obliquo è lungo 10 cm e il raggio è uguale alla base minore. Calcola l'area del trapezio.

[Risposta attesa: 80 cm²]
Passo 1 di 7
1
Riconosci la figura corretta
Cosa significa "circoscritto a una circonferenza"?
Il problema dice che il trapezio è circoscritto a una circonferenza.
Questo significa che la circonferenza è inscritta nel trapezio: deve essere tangente (toccare) tutti e quattro i lati.

Osserva le tre figure e scegli quella che rappresenta correttamente la situazione.
Figura A
Cerchio tangente
solo alle due basi
Figura B
r
Cerchio tangente
a tutti e 4 i lati
Figura C
Cerchio esterno
al trapezio
2
Leggere la figura
Proprietà del trapezio circoscritto
Bene! Ora osserva la figura con le etichette. Le variabili chiave sono:
• b = base minore  •  B = base maggiore
• l = 10 cm = lato obliquo  •  r = raggio  •  h = altezza
r b B l=10 l=10 h
💡 Rifletti

Per un quadrilatero circoscritto a una circonferenza, esiste una proprietà fondamentale sui lati. Quale?

3
La condizione sul raggio
Imposta l'equazione con r = b
Il problema ci dice che r = b (il raggio è uguale alla base minore).

Sappiamo anche che la circonferenza inscritta tocca la base minore nel suo punto medio. Questo significa che il raggio è uguale alla metà dell'altezza... no, aspetta!

Il raggio della circonferenza inscritta in un trapezio è uguale a:
r = h / 2 dove h è l'altezza del trapezio
Quindi, poiché r = b, abbiamo:
b = h / 2 → h = 2b l'altezza è il doppio della base minore
✏️ Verifica

Se il diametro della circonferenza inscritta è uguale all'altezza, e r = b, quanto vale h in funzione di b?

4
Usare il Teorema di Pitagora
Trovare b dal triangolo rettangolo
Ogni lato obliquo del trapezio è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con:
• cateto verticale = h = 2b
• cateto orizzontale = (B − b) / 2

Dalla proprietà del circoscritto: b + B = 2l = 20, quindi B = 20 − b.
Allora il cateto orizzontale diventa:
(B − b) / 2 = (20 − b − b) / 2 = (20 − 2b) / 2 = 10 − b
Applichiamo Pitagora: l² = h² + cateto²
10² = (2b)² + (10 − b)² l = 10, h = 2b, cateto orizzontale = 10 − b
l=10 h=2b 10−b
🧮 Svolgi il calcolo

Sviluppa l'equazione 100 = 4b² + (10−b)² e semplifica. Quale equazione ottieni?

Sviluppa: 100 = 4b² + 100 − 20b + b²
→ 100 = 5b² − 20b + 100
→ 0 = 5b² − 20b
→ 0 = 5b(b − 4)
Quindi b = 0 (scarto) oppure b = 4 ✓
5
Trovare b, h, B
Risolvi l'equazione e ricava tutte le misure
Dall'equazione 5b(b − 4) = 0 otteniamo b = 4 cm (scartando b = 0).

Ora calcoliamo le altre misure:
b = 4 cm
h = 2b = 2 × 4 = 8 cm
B = 20 − b = 20 − 4 = 16 cm tutte le misure del trapezio
✏️ Verifica con Pitagora

Controlla: con b = 4, h = 8, cateto = 10 − 4 = 6, il lato obliquo vale davvero 10?

6
Calcola l'area
Formula dell'area del trapezio
Ora hai tutte le misure. La formula dell'area del trapezio è:
A = ½ × (b + B) × h media delle basi × altezza
Sostituisci i valori trovati: b = 4, B = 16, h = 8.
🧮 Calcola

Quanto vale l'area del trapezio?

cm²
A = ½ × (4 + 16) × 8
A = ½ × 20 × 8
A = ½ × 160
A = 80 cm² ✓
7
Schema risolutivo completo
Tutto il ragionamento in un colpo d'occhio
Ecco il percorso completo, dalla proprietà geometrica al risultato finale:
① Proprietà circoscritto
b + B = 2l → b + B = 20
② Condizione r = b
r = h/2 → b = h/2 → h = 2b
③ Teorema di Pitagora
10² = (2b)² + (10−b)² → b = 4 cm
④ Misure
b = 4 cm, h = 8 cm, B = 16 cm
⑤ Area
A = ½ × (4 + 16) × 8 = 80 cm²
🏆

Ottimo lavoro!

Hai risolto un problema di geometria avanzata usando tre strumenti fondamentali:

📐 Proprietà del circoscritto 📏 Teorema di Pitagora 🔢 Equazione di secondo grado

L'area del trapezio è:

A = 80 cm²

b = 4 cm · B = 16 cm · h = 8 cm · l = 10 cm