Esercizio Interattivo – Famiglia di Funzioni

1

Massimo, minimo relativo e asintoto

IN CORSO

Per qualsiasi k ≠ 0, dimostra che il grafico di f_k presenta un massimo relativo, un minimo relativo e un solo asintoto.

💡 Suggerimento Calcola la derivata prima: f'_k(x) = k · e^−x² · (1 − 2x²). Poni f'_k(x) = 0 e studia il segno. Per gli asintoti ricorda che lim_x→±∞ x·e^−x² = 0.

Domanda 1a – Derivata prima

Qual è la forma corretta di f'_k(x)?

Domanda 1b – Punti critici (k > 0)

Per k > 0, il massimo relativo si trova in x = ?

Domanda 1c – Asintoto

Quale asintoto orizzontale presenta il grafico?

✓ Punto 1 completato! Ottimo lavoro.

2

Retta tangente e intersezioni con gli assi

BLOCCATO

Sia A il punto di intersezione del grafico con l'asse y (x = 0), e sia B l'intersezione con l'asse x oltre l'origine (x ≠ 0 con f_k(x) = 0). La retta tangente in A passa anche per B?

💡 Suggerimento A = (0, 0) perché f_k(0) = 0. La tangente in A ha pendenza f'_k(0) = k, quindi y = kx. Le radici di f_k(x) = 0 sono x = 0 (l'origine stessa). Nota: la funzione si annulla solo in x = 0!

Domanda 2a – Intersezione con asse y

Qual è il punto A (intersezione con l'asse y, cioè x = 0)?

Domanda 2b – Equazione della tangente in A

Qual è l'equazione della retta tangente al grafico in A = (0, 0)?

Domanda 2c – Le radici di f_k

Quali sono le radici di f_k(x) = k·x·e^−x² = 0 (con k ≠ 0)?

✓ Punto 2 completato! La tangente in A passa per l'unica intersezione con l'asse x.

3

Valore di k per cui il massimo vale √2 · e^−1/2

BLOCCATO

Determina il valore di k per cui il valore massimo di f_k è uguale a √2 · e^−1/2.

f k (1/\sqrt2) = k \cdot (1/\sqrt2) \cdot e -1/2 = \sqrt2 \cdot e -1/2

💡 Suggerimento Il massimo per k > 0 si trova in x = 1/√2. Calcola f_k(1/√2) e impostalo uguale al valore dato. Semplifica e^−1/2.

Domanda 3a – Equazione per k

Dalla condizione f_k(1/√2) = √2 · e^−1/2, quale equazione ottieni per k?

Domanda 3b – Inserisci il valore di k

Qual è il valore numerico di k?

✓ Punto 3 completato! k = 2.

4

Studio di f₂(x) = 2x · e^−x²

BLOCCATO

Sia ora f(x) = 2x · e^−x² (k = 2). Studia il comportamento tramite la derivata prima e rispondi alle domande sul grafico.

💡 Suggerimento f'(x) = 2e^−x²(1 − 2x²). Cambi di segno in x = ±1/√2. La funzione è crescente su (−1/√2, 1/√2) e decrescente sugli altri intervalli. È una funzione dispari.

Domanda 4a – Monotonia

Su quale intervallo f(x) = 2x·e^−x² è crescente?

Domanda 4b – Simmetria

Che tipo di simmetria ha il grafico di f(x) = 2x·e^−x²?

Domanda 4c – Valore del massimo assoluto

Qual è il valore massimo assoluto di f(x) = 2x·e^−x²?

✓ Punto 4 completato! Bravo, esercizio terminato!

📈

Grafico di f(x) = 2x · e^−x²

BLOCCATO

Ecco il grafico completo di f(x) = 2x · e^−x² con i punti notevoli evidenziati.

f(x) = 2x·e^−x² Massimo (1/√2 , √2·e^−½) ≈ (0.71, 0.86) Minimo (−1/√2 , −√2·e^−½) ≈ (−0.71, −0.86) Asintoto y = 0

Famiglia di funzioni parametriche

Funzione studiata